1. Lapangan, Bilangan Positif dan Aksioma Kelengkan
    a.  Aksioma Lapangan

        Mungkin muncul pertanyaan, apa yang dimaksud aksioma atau mungkin anda belum tahu apa itu teorema, preposisi, dalil, ataupostulat. Ada beberapa pengertian mengenai

Teorema  

adalah sebuah pernyataan yang yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui.

Aksioma 
adalah pernyataan yang diterima sebagai kebenaran yang bersifat umum tanpa memerlukan pembuktian.

Postulat 
adalah asumsi atau dugaan yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar yang pada suatu saat jika ada pernyataan yang dapat menyangkal dengan sesuai pembuktian maka postulatnya berubah.  
Identitas
digunakan untuk teorema yang menampakkan persamaan antara 2 pernyataan matematika 
Lema
pra-teorema. Pernyataan yang proposisi yang diikuti dengan bukti yang sedikit atau tidak ada sama sekali dari sebuah teorema atau definisi lain. Yaitu, proposisi B adalah korolar proposisi A jika B bisa dideduksikan dari A. 
Preposisi
pernyataan yang tak dikaitkan dengan "teorema" apapun 

Aksioma Lapangan(The field axioms )
    Suatu himpunan dikatakn lapangan jika memenuhi komutatif terhadap penjumlahan maupun perkalian, asosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian, distributif, memiliki invers dan fungsi identitas. Ada 9 aksioma mengenai lapangan adalah
     A1. a+b=b+a  (komutatif +)
     A2. (a+b)+c=a+(b+c) (assosiatif +).
     A3. terdapat 0 anggota R sehingga a+0=0+a=0 untuk setiap a bil. real
     A4. Untuk setiap a bil. real Ada b anggota bil real sehingga a+b=0
     A5. ab=ba      (komutatif x) 
     A6. (ab)c=a(bc)   (assosiatif x)
     A7. terdapat 1 anggota R sehingga 1.a=a.1=a untuk setiap a bil. real
     A8.  Untuk setiap a bil. real a¹0, ada b anggota bil real sehingga a.b=1
     A9. a(b+c)=ab+ac 
 Himpunan yang memenuhi aksioma diatas disebut lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

• invers dari a terhadap penjumlahan adalah -a
• invers dari a terhadap penjumlahan adalah  a^-1 

 LATIHAN SOAL
1. Jika a¹0 dan b¹0, maka buktikan (ab)^-1=a^-1b^-1
    Pembahasan:
    Akan dibuktikan (ab)^-1=a^-1b^-1
             a^-1b^-1(ab)=a^-1b^-1(ba)
                             =a^-1(b^-1b)a
                             =a^-1(1) a 
                             =a^-1 a 
                                       = 1
      jadi (ab)^-1=a^-1b^-1

2. Misalkan a dan b bilangan real. Buktikan bahwa, jika ab=0, maka a=0 atau   b=0 
    Pembahasan:
    Diketahui  ab=0
    Akan dibuktikan  a= 0 atau   b=0 
            jika  a¹0  maka terdapat a^-1 sehingga a.a^-1=1
            karena      ab=0
                         a^-1.ab=a^-1.0  
                         (a^-1.a)b= 0 
                                 1.b=0
                                    b=0

            jika  b¹0  maka terdapat b^-1 sehingga b.b^-1=1
            karena      ab=0
                            ab.b^-1=0.b^-1 
                         a(b.b^-1) =0   
                                  a.1= 0
                                     a=0
             jadi  a= 0 atau   b=0 

Aksioma Bilangan Positif 
P dikatakan himpunan bilangan real positif, jika memenuhi 
      P1.  
      P2.  
aksioma bilangan positif member cara untuk dapat mengurutkan bilangan real. Didefinisikan a<b, artinya   
                                               
Berdasarkan aksioma bilangan positif diperoleh beberapa sifat ketaksamaan, antara lain:
              a.  
                 b.   
             c. Tidak ada x sehingga x<x
Didefinisikan selang (interval)