Penggunaan Konsep ukuran menjadi integral Riemmann berbeda dengan integral lebesgue. Pada Integral Riemmann selang [a,b] dipartisi ke beberapa selang tertutup, sedangkan pada Integral Lebesgue selang [a,b] dipartisi ke beberapa himpunan yang disebut himpunan terukur Lebesgue. Setiap selang merupakan himpunan terukur Lebesgue. Lebar selang l, yaitu l(l) biasanya didefinisikan sebagai selisih dua titik ujungnya yang hasilnya berupa bilangan real. Lebar selang ini salah satu contoh fungsi himpunan. Fungsi Himpunan adalah suatu fungsi antara R dan koleksi himpunan.
Disini akan ditinjau suatu fungsi himpunan m yang memetakan himpunan E dalam koleksi himpunan terukur Lebesgue ke suatu bilangan real yang tak negatif m(E). fungsi m disebut ukuran Lebesgue dari himpunan E. Koleksi himpunan terukur Lebesgue merupakan aljarbar yang memuat semua himpunan buka dan tertutup.
Tujuan yang diharapkan, fungsi m memiliki 3 sifat berikut:
- Setiap selang l adalah terukur lebesgue dan m(l)=l(l)
- Ukuran bersifat translasi invarian: Jika E terukur lebesgue dan y suatu bilangan, maka
terukur Lebesgue dan
- Ukuran bersifat adiktif terhitung pada gabungan terhitung himpunan yang saling lepas: Jika himpunan yang saling lepas
koleksi terhitung dari himpunan terukur Lebesgue yang saling lepas, maka
Tidak mungkin mengkonsturksi suatu fungsi himpunan yang memenuhi ketiga sifat tersebut. Oleh karena itu dilakukan dua langkah umtuk mendekati ketiga sifat tersebut.
- Mengkonstruksi suatu fungsi himpunan yang disebut ukuran luar, notasi m sebagai contoh: ukuran luar suatu selang=lebar selangnyaukuran luar bersifat translasi invarian, tetapi tidak memenuhi sifat 3 dan hanya bersifat subadikitif, yakni
- Apabila memilih koleksi himpunan berupa aljabar sigma, maka diperoleh ukuran m yang disebut ukuran adiktif yang terhitung atau ukuran lebesegue, dinotasikan m
Notasi ukuran luar A adalah didefinisikan sebagai berikut:
0 komentar
Posting Komentar