Definisi Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Definisi Himpunan
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek. Objek dari suatu himpunan disebut sebagai   anggota atau elemen dari himpunan tersebut.
Definisi: 
Misalkan A dan B dua buah himpunan, maka

1. Gabungan dari A dan B ditulis 

2. Irisan dari A dan B ditulis                                                                                                                  
3. Jumlah A dan B ditulis
  
4. Komplemen dari A ditulis  
5. Pengurangan A oleh B ditulis

Lemma 1.1: Himpunan kosong adalah bagian dari semua himpunan

Definisi: 
Misalkan
                 
adalah suatu himpunan, maka dapat dinotasikan sebagai berikut   

Contoh Soal:
1.  Misal  a anggota bilangan real
     
     Buktikan a = 0
     Jawab:
     Andaikan a tidak bernilai nol, misal a>0
     pilih
                
     karena  
     maka
                               kontradiksi
     sehingga bukti selesai
      jadi terbukti a = 0
2.  Jika a dan b anggota bilangan real dan a < b
     maka buktikan bahwa
                                      
     Jawab:
      karena a < b maka a +a < a+ b
                                   2a < a+b
                                     a < (a+b)/2

      karena a < b maka a +b < b+ b
                                a + b < 2b
                            (a+b)/2 < b
      sehingga
                                 terbukti
3.  Buktikan
                             
    Jawab:
    Andaikan
           
   maka
              
              merupakan kelipatan 2
   klaim p kelipatan 2
   andaikan   
                
   maka  bukan kelipatan 2 (hal ini kontradiksi)
   sehingga p merupakan kelipatan 2
   andaikan
              p =2m
               
              
       merupakan kelipatan 2
  klaim q kelipatan 2 (pembuktian sepertian pembutktian mencari p)
  sehingga diperoleh (p,q) = 3>1 kontradiksi
  sehingga bukti selesai dan terbukti bahwa