Limit dan Kekontinuan

Jumat, 01 Februari 2013

Limit dan Kekontinuan

Membuat definisi yang presisi mengunakan huruf Yunani (epsilon) dan (delta) untuk menggantikan sembarang bilangan positif yang sangant kecil. Mengatakan bahwa f(x) berbeda dari L yang sangat kecil perbedaan ukurannya, sebagai ilustrasi perhatikan simbol dibawah ini

$L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$

atau

$|L-f(x)|<\varepsilon$

Ini bermakna " bahwa f(x) terletak dalam interval terbuka
$\left ( L-\varepsilon ,L+\varepsilon \right )$
atau x itu cukup dekat tetapi berlainan dengan c atau sama saja dengan mengatakan bahwa utuk setiap delta, x terletak dalam interval terbuka
Definisi Limit
Mengatakan bahwa

$\lim_{x\to c} f(x)=L$

Berarti

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0,|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon$

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa

$\lim_{x\to 2}(x+1)=3$

Pembahasan :
Analisis Pendahuluan
Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(x+1)-3|=|x-2|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =\varepsilon$ , tentu saja sebarang $\delta$ yang lebih kecil akan memenuhi.
Bukti Formal:

Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
pilih $\delta =\varepsilon$ dengan
$|x-2|<\delta$
sehingga

$|(x+1)-3|=|x-2|<\delta =\varepsilon$

2. Buktikan bahwa
$\lim_{x\to 1}x^{2}=1$

Pembahasan :
Analisis Pendahuluan

Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-1|<\delta \Rightarrow |x^{2}-1|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =1$
yaitu
$|x-1|<1$
sehingga
$|x+1|=|x-1+2|<|x-1|+2<1+2=3$
Bukti Formal:
Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
Pilih

$\delta=min \left \{ 1, \frac{\varepsilon }{3} \right \}$

dengan

$|x-1|<\delta$
sehingga berlaku
$|x^{2}-1|=|(x+1)(x-1)|=|x+1|.|x-1|<3\delta=\varepsilon$
bukti selesai
3. Buktikan limit berikut ini

$\lim_{x\to 3 }(x^{2}+x-5)=7$

Analisis Pendahuluan

Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^{2}+x-5-7|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =1$
yaitu
   $0<|x-3|<\delta=1$
sehingga
   $|x^{2}+x-5)-7|=|x^{2}+x-12|=|(x+4)(x-3)|<\delta |x+4|$
mencari
   $|x+4|=|x-3+7|=|x-3|+7<1+7=8$

Bukti Formal:

Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
Pilih

$\delta =min\left \{ 1,\frac{\varepsilon }{8} \right \}$

dengan

$|x-3|<\delta$
sehingga berlaku
$|x^{2}+x-5)-7|=|x^{2}+x-12|=|(x+4)(x-3)|<\delta |x+4|$
$<8\delta =\varepsilon$
bukti selesai

1 komentar

Zeni Dp 20 Agustus 2014 pukul 22.50: Mantap Mas.. kayanya ada yang kurang, nih saya tambahin . Untuk melengkapkan materinya saja. makasih
http://us4java.blogspot.com/2014/08/blog-post.html

Pages

Belajar Matematika itu Menyenangkan

Top Menu

Kirim Pesan

Soal Masuk PTN

Link

About Me

Jumlah Pengunjung

Popular Posts

Jumat, 01 Februari 2013

Limit dan Kekontinuan

1 komentar

Posting Komentar

Konsep Matematika

Matematika SMA

Pengunjung