Belajar Matematika itu Menyenangkan

Jumat, 01 Februari 2013

Fungsi Kontinu

Definisi:
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. Maka f kontinu di c jika

$\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$

definisi diatas mensyaratkan

1. $\lim_{x\to c}f(x)$ ada
2. $f(c)$ ada (maksudnya c berada dalam daerah asal f)
3. $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$
Contoh Soal:
1. Buktikan bahwa

   $f(x)=x^{2}$
kontinu pada R
Pembahasan:
  Analisis Pendahuluan
  Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$|x-a|<\delta \Rightarrow |x^{2}-a^{2}|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$
yaitu
   $|x-a|<1$
sehingga
   $|x+a|=|x-a+2a|<|x-a|+2|a|=1+2|a|$
  Bukti Formal:
Misal $\varepsilon >0$ dan $a\in \Re$   diberikan sembarang
Pilih

$\delta =min\left \{ 1,\frac{\varepsilon }{1+2|a|} \right \}$

dengan

$|x-a|<\delta$
sehingga berlaku
$|x^{2}-a^{2}|=|(x+a)(x-a)|=|x+a||x-a|<\delta (1+2|a|)=\varepsilon$
bukti selesai

Membuat definisi yang presisi mengunakan huruf Yunani (epsilon) dan (delta) untuk menggantikan sembarang bilangan positif yang sangant kecil. Mengatakan bahwa f(x) berbeda dari L yang sangat kecil perbedaan ukurannya, sebagai ilustrasi perhatikan simbol dibawah ini

$L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$

atau

$|L-f(x)|<\varepsilon$

Ini bermakna " bahwa f(x) terletak dalam interval terbuka
$\left ( L-\varepsilon ,L+\varepsilon \right )$
atau x itu cukup dekat tetapi berlainan dengan c atau sama saja dengan mengatakan bahwa utuk setiap delta, x terletak dalam interval terbuka
Definisi Limit
Mengatakan bahwa

$\lim_{x\to c} f(x)=L$

Berarti

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0,|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon$

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa

$\lim_{x\to 2}(x+1)=3$

Pembahasan :
Analisis Pendahuluan
Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-2|<\delta \Rightarrow |(x+1)-3|=|x-2|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =\varepsilon$ , tentu saja sebarang $\delta$ yang lebih kecil akan memenuhi.
Bukti Formal:

Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
pilih $\delta =\varepsilon$ dengan
$|x-2|<\delta$
sehingga

$|(x+1)-3|=|x-2|<\delta =\varepsilon$

2. Buktikan bahwa
$\lim_{x\to 1}x^{2}=1$

Pembahasan :
Analisis Pendahuluan

Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-1|<\delta \Rightarrow |x^{2}-1|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =1$
yaitu
$|x-1|<1$
sehingga
$|x+1|=|x-1+2|<|x-1|+2<1+2=3$
Bukti Formal:
Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
Pilih

$\delta=min \left \{ 1, \frac{\varepsilon }{3} \right \}$

dengan

$|x-1|<\delta$
sehingga berlaku
$|x^{2}-1|=|(x+1)(x-1)|=|x+1|.|x-1|<3\delta=\varepsilon$
bukti selesai
3. Buktikan limit berikut ini

$\lim_{x\to 3 }(x^{2}+x-5)=7$

Analisis Pendahuluan

Misalakan $\varepsilon >0$ diberikan, kita harus menghasilakan suatu (delta) yang positif sedmikian sehingga

$0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^{2}+x-5-7|<\varepsilon$

sekarang kita lihat memilih $\delta$ , yakni $\delta =1$
yaitu
   $0<|x-3|<\delta=1$
sehingga
   $|x^{2}+x-5)-7|=|x^{2}+x-12|=|(x+4)(x-3)|<\delta |x+4|$
mencari
   $|x+4|=|x-3+7|=|x-3|+7<1+7=8$

Bukti Formal:

Misal $\varepsilon >0$ diberikan sembarang
Pilih

$\delta =min\left \{ 1,\frac{\varepsilon }{8} \right \}$

dengan

$|x-3|<\delta$
sehingga berlaku
$|x^{2}+x-5)-7|=|x^{2}+x-12|=|(x+4)(x-3)|<\delta |x+4|$
$<8\delta =\varepsilon$
bukti selesai

Pages

Belajar Matematika itu Menyenangkan

Top Menu

Kirim Pesan

Soal Masuk PTN

Link

About Me

Jumlah Pengunjung

Popular Posts

Definisi

Teorema

Aksioma

Postulat

Akibat

Jumat, 01 Februari 2013

Fungsi Kontinu

Limit dan Kekontinuan

Konsep Matematika

Matematika SMA

Pengunjung